Blackbody Radiation

          Blackbody หรือวัตถุดำ คือวัตถุที่ดูดกลืนคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่ตกกระทบตัวมันทั้งหมด ไม่มีการทะลุผ่านและไม่มีการสะท้อน ทำให้ วัตถุดำเป็นวัตถุในอุดมคติของการแผ่รังสีความร้อน จำนวนและความยาวคลื่นของการแผ่คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าแปรผันตรงกับอุณหภูมิ
          การแผ่รังสีของวัตถุดำขึ้นกับอุณหภูมิเท่านั้น มันไม่ขึ้นกับรูปร่างและส่วนประกอบภายในแต่อย่างใด การแจกแจงความยาวคลื่นเป็นไปตามกฎของ Planck ซึ่งเป็นฟังค์ชันที่ขึ้นกับอุณหภูมิและความเข้มของความถี่ ของวัตถุดำเมื่อมีอุณหภูมิ คือ

 

          เมื่อ คือ ค่าคงที่ของ Planck เท่ากับ  

                คือ ความเร็วแสง ประมาณ  

                คือ ค่าคงที่ของ Boltzmann เท่ากับ  

          การแผ่รังสีของวัตถุดำเกิดจากการเคลื่อนที่เชิงความร้อนที่มาจากอนุภาคภายในสสาร สสารทุกอย่างที่มีอุณหภูมิสูงกว่าศูนย์องศาสัมบรูณ์จะปล่อยรังสีความร้อนออกมา เมื่ออุณหภูมิของวัตถุมีค่าสูงกว่าศูนย์องศาสัมบรูณ์จะเกิดการชนกันระหว่างอะตอมทำให้เกิดพลังงานจลน์ ซึ่งทำให้ประจุเกิดความเร่งและประพฤติตัวเป็นไดโพล เป็นเหตุให้เกิดการสั่นของอนุภาคซึ่งสร้างคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าหรือที่เราเรียกว่า รังสี นั่นเอง
          สเปกตรัมของวัตถุดำเป็นไปตามกฎของพลังค์ (Planck’s law) มันจะเป็นจริงถ้าขนาดการแผ่รังสีเป็นขนาดใหญ่มาก ๆ เมื่อเทียบกับความยาวคลื่นค่าหนึ่ง ในกรณีที่ภายในวัตถุมีช่องว่าง ซึ่งกำหนดให้เกิดการแผ่รังสีออกมาโดยมาจากคลื่นนิ่งที่ถูกกักอยู่ในช่องว่าง ตัวเลขที่แตกต่างกันของความยาวคลื่นที่มากกว่าและสั้นกว่าความยาวคลื่นจะถูกเทียบกับขนาดของช่องว่าง สเปกตรัมของของแข็งมีความต่อเนื่อง เรามักจะอธิบายมันด้วยกฎของพลังค์ (Planck’s law)
          เราสามารถเขียน (Planck’s law) เป็นฟังก์ชันของความยาวคลื่น เราต้องการ ก็คือความยาวคลื่นจะลดลงแต่ความถี่จะเพิ่มขึ้นดังนั้นจึงมีเครื่องหมายลบ และ จะได้

 

          จะได้                                     

          หรือ                                     

                   

          ฟังก์ชัน และ ขึ้นอยู่กับความเข้มรวมซึ่งได้มาจาก

 

          ตอนนี้เราจะหาความเข้มรวม ซึ่งเราจะอินทิเกรตตัวแรกก่อน

 

          ทำการเปลี่ยนตัวแปร ดังนั้น  

 

         อินทิเกรตเทอมนี้จะได้จำนวนจริง ไม่ขึ้นกับอุณหภูมิ ดังนั้นเราก็จะเหลือแค่

  

 

     

          เมื่อ มีค่าเท่ากับ

 

          ความหนาแน่นของ flux ของการแผ่รังสีที่เหมือนกัน  

 

          หรือ                                      

          นี่คือกฎของ Stefan-Boltzmann (Stefan-Boltzmann law) และค่าคงที่ เรียกว่า Stefan-Boltzmann constant

  

          จาก Stefan-Boltzmann law เราได้ความสัมพันธ์ระหว่างความส่องสว่างและอุณหภูมิของดาว ถ้ารัศมีของดาวมีค่าเท่ากับ , พื้นผิวดาวเท่ากับ และถ้า flux ของดาวมีค่าเป็น จะได้

 

          ถ้าดาวถูกสมมติว่าแผ่รังสีแบบวัตถุดำ เราจะได้ ดังนั้นสมการจะเป็น

 

          ค่าความสว่าง รัศมี และอุณหภูมิไม่ขึ้นกับปริมาณ มันเกี่ยวของกับ absolute bolometric magnitude ผลต่างของ absolute bolometric magnitude กับดวงอาทิตย์จะเป็น

 

 

   

ภาพจาก http://en.wikipedia.org/wiki/Thermal_radiation

 

          จากภาพจะเห็นความยาวคลื่นของความเข้มสูงสุดทั้งลดลงและเพิ่มขึ้น เราสามารถหาความยาวคลื่นสูงสุด ที่มีผลกับความเข้มสูงสุดโดยการหาอนุพันธ์ของพลังค์ฟังก์ชัน เทียบกับ และหาค่าโดยจับเท่ากับศูนย์ ผลของ Wien displacement law:

 

          เมื่อค่าคงที่                            

          เราสามารถใช้ขั้นตอนนี้หาค่าสูงสุดของ ได้ แต่ความถี่ ที่ได้นั้นมีค่าต่างจาก เพราะว่า นี่คือค่าจริง ความเข้มจะต้องได้มาจากความถี่หรือความยาวคลื่นส่วนเล็ก ๆ รวมกันและจากความถี่ที่มีความไม่ต่อเนื่อง

          เมื่อความยาวคลื่นมีค่าใกล้เคียงค่าสูงสุด Planck’ function สามารถประมาณโดยการกระจายง่าย ๆ เมื่อ (หรือ ) จะได้ว่า

 

          ในกรณีที่ใช้ Wien’ approximation จะเท่ากับ

 

          เมื่อ จะได้

  

          และใช้ Rayleigh-Jeans approximation จะเท่ากับ

 

          นี่มีประโยชน์มากโดยเฉพาะใช้กับคลื่นวิทยุทางดาราศาสตร์